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今日は、明日のクラブの準備をする。

蝋燭を溶かして、クレヨンを入れて、熱せばカラーろうそくの出来上がり。
何故、ろうそくに色をつける必要があるのだ?
という問いには「そこに蝋燭と、クレヨンがあるからだ。」とでも答えておこう。

よく高校生の時に聞かれた。受験勉強で数学だけは超大好きで、
いつも数学ばかりしていた。電車の中も数学を解いていて、
数学の問題集が手元になく、ネタが尽きたときには、自分で数学の問題を
考えて、それをとくのに必死になっていた。こういうものは解答が載っていないので、
とても楽しい。

なんというか、自分だけの問題に興奮し、自分だけの達成感が最高のものだと信じていた。
まぁこんなことばかりしていたので、他の科目は散々。

今でも、数学ではないが、そのくせは続いていて、
電車の中で元気なときは、瞑想することがしばしばある。

最近では、xy座標系にある任意の点を4つ打った場合、それらの4点が互いに交差することのないような、
経路を求める問題を考え続けた。
結果惨敗。どうしても分からなかった。あまりにも悔しいので、経過だけでも書いておこう。

1.重心からX軸に平行な線とY軸に平行な線を引いて、その重心を原点とすれば第一象限、第二象限、第三象限、第四象限と考えれば経路が決まるのではないか。

全然だめ。同じ象限に2点が来る場合は、頻繁にある。

2.4点の重心を新たに原点と考える。で、X軸に平行で、大きい方の任意の点を基点とし、そこから複素数平面上に回転させていけば、いけるのではないか。

これもだめ。反例あり。

ここら辺で、重心を原点にしてもうまいこといかないっぽいので、別のパターンを模索

3.4点のうち、任意の点を原点として考える。その点と、あと3つの点とのsin\thetacos\thetaをそれぞれ求め、その情報から、その3つの点との\arcsin\arccosを出して、それからラジアンを求めて、そのラジアンの小さいほうとかしてみた。これは、いけるかも。と思って、実際に実装してみた。

いけるときもあったが、反例が見つかった。

4.じゃあ、今度は、3.の方法を、さらに任意の点をPQRSと名前を付けて、適当に、Pがスタートとして、ラジアンを求めて次の点が決定したら、今度はさらに、その次の点を原点に取り直していく方法を採用。

でもだめだった。

上の機能の実装が、結構だるかったので、もう思いつきで実装していくのはやめようという結論。今後は、
M井君と相談しながら、もしかすると、
「4つの任意の点をとる多角形はそのそれぞれの線分の長さの和が最も短い経路をとるものが、よい」
という仮説を立てた。
つまり、こういうことだ。


上の図を見ればお分かりだと思うが、とりあえず、平行四辺形で考えた。
対角線は、他の辺を構成する線分よりも長いのだから、
最も短い経路を取る線分が四角形を構成する要素ではないか。と思ったのである。

証明もしてみた。

他の構成をキャンセルすると、この問題は、

2a<\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab+c^{2}}+\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab+c^{2}}
であることを証明すればよいことになる。

一見しただけでは、右辺にはbもいれば、−がいる。この−さえ無ければ・・。
と思ったりするかも知れないけど、実はものすごく簡単に証明できた。

上の式の場合、右辺の方が勝って欲しい。
ということと、c>0という事実。
ということは、必ず、
\lim_{c\rightarrow 0}\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab+c^{2}}+\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab+c^{2}}\right) <\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab+c^{2}}+\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab+c^{2}}
が成り立つ。仮にこの式をAとでも名付けよう。
で、このAの左は、
\sqrt{(a+b)^{2}}+\sqrt{(a-b)^{2}}
2a
である。
だから、c=0の時、初めて2aと等しくなるのだから、少なくともc>0の時は必ずこの命題は真である
とかして、調子乗って長方形、正方形、台形まで、同様にして証明できた。

ので、実装。

でもやっぱりだめ。反例が出た。

5.本当に最後の手。線を全部メッシュ上に引っ張っていって、二つの組み合わせを15通り求め、それぞれの直線が交わった場合は、
この交わった線分は使わないぞ。路線でいってみた。

これは、もう成功するしかない、王道である。いや、邪道である。
でもやっぱりだめ。

同一直線状にあるようなパターン。
ここで完全にあきらめた。

無念。

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ここまで。